Bougies parfumées

Éric fabrique des bougies parfumées qu’il vend sur les marchés locaux. Il a des frais fixes pour l’achat de matériel de base (moules, parfums, cire…) et des frais variables liés à la production.

Le coût total de production de \(x\) bougies (en euro) est donné par la fonction : \(C(x)=0{,}02x^2+3x+200\) définie sur l’intervalle \([0\,;300]\), où `x` est le nombre de bougies produites.

Chaque bougie est vendue 8 euros.

Problématique : combien de bougies Éric doit-il vendre pour obtenir un bénéfice maximal ?

1. Que représente la fonction \(C\) ? Que représente la variable \(x\) ?

2. Déterminer le coût de production pour 80 bougies.

3. Déterminer le montant du chiffre d'affaires réalisé pour 80 bougies.

4. En déduire le résultat pour 80 bougies vendues. Préciser si Éric a réalisé un bénéfice ou subit une perte.

5. On considère \(V(x)\) la fonction ``représentant le chiffre d'affaire. Donner l'expression algébrique de la fonction \(V\).

6. On considère \(R(x)\) la fonction ``représentant le résultat réalisé par l'entreprise. Montrer que \(R(x)=- 0{,}02x^2 + 5x - 200\).

7. En utilisant la calculatrice NumWorks ou le logiciel GeoGebra, tracer la représentation graphique de la fonction \(R\).

Appeler l'enseignant pour faire vérifier le tracé.

8. À l'aide du graphique, résoudre l'équation \(R(x) = 0\). Donner une interprétation du ou des solutions de cette équation dans le contexte.

9. En déduire le tableau de signes de la fonction \(R\) et préciser l'intervalle sur lequel Éric réalise un bénéfice.

10. D'après le graphique, la fonction \(R\) admet-elle un maximum ou un minimum ? Préciser sa valeur.

11. Répondre à la problématique.